Математика и математическое моделирование. 2018; : 1-12
Полиномиальные решения задачи Дирихле для уравнения Трикоми в полосе
https://doi.org/10.24108/mathm.0318.0000120Аннотация
В статье рассматривается уравнение Трикоми смешанного типа. Оно эллиптично в верхней полуплоскости, гиперболично в нижней полуплоскости и параболически вырождается на границе полуплоскостей. Уравнения смешанного типа применяются в трансзвуковой газовой динамике. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в смешанной области, вообще говоря, поставлена некорректно. Поиску условий корректности постановки задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в смешанной области посвящено много работ.
Данная работа посвящена отысканию точных полиномиальных решений неоднородного уравнения Трикоми в полосе с полиномиальной правой частью. Методом преобразования Фурье показано, что краевая задача Дирихле с полиномиальными краевыми условиями имеет полиномиальное решение. Приведен алгоритм построения этого полиномиального решения и рассмотрены примеры. Если полоса лежит в области эллиптичности уравнения, то это решение единственно в классе функций полиномиального роста. Если полоса лежит в смешанной области, то решение задачи Дирихле не единственно в классе функций полиномиального роста, но оно единственно в классе полиномов.
Список литературы
1. Tricomi F. Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine, di tipo misto // Rend. Reale Accad. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (5), 1923. Vol. 14. Pp. 134–247.
2. Трикоми Ф. О. линейных уравнениях смешанного типа. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 192 с.
3. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 295 с.
4. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. 208 с.
5. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973, 712 с.
6. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
7. Бицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в смешанных областях // Доклады Академии наук. 1958. Т. 122. № 2. С. 167–170.
8. Нахушев А.Н. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 1. С. 190–191.
9. Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998.
10. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Доклады Академии наук. 2007. Т. 413, № 1. С. 23–26.
11. Солдатов А.П. О задачах типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе // Труды МИАН. 2012. Т. 278. С. 242–249.
12. Алгазин О.Д. Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое // Математика и математическое моделирование. 2017. № 6. С. 1–18. DOI: 10.24108/mathm.0517.0000082
13. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 318 с.
14. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.-Л.: Физматлит, 1963. 359 с.
15. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2018; : 1-12
Dirichlet Problem Polynomial Solutions for the Tricomi Equation in a Strip
https://doi.org/10.24108/mathm.0318.0000120Abstract
In the paper we consider a Tricomi equation of mixed type. This equation is elliptic in the upper half-plane, hyperbolic in the lower half-plane and parabolically degenerate on the boundary of half-planes. Equations of mixed type are used in transonic gas dynamics. The Dirichlet problem for an equation of mixed type in a mixed domain is, in general, ill-posed. There are many papers on finding conditions to have a well-posed Dirichlet problem for a mixed-type equation in a mixed domain.
The paper objective is to find the exact polynomial solutions of the inhomogeneous Tricomi equation in a strip with a polynomial right-hand side. The Fourier transform method shows that the Dirichlet boundary value problem with polynomial boundary conditions has a polynomial solution. The paper presents an algorithm for constructing this polynomial solution and discusses examples. If the strip lies in the ellipticity region of the equation, then this solution is unique in the class of functions of polynomial growth. If the strip lies in a mixed domain, then the solution of the Dirichlet problem is not unique in the class of functions of polynomial growth, but it is unique in the class of polynomials.
References
1. Tricomi F. Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine, di tipo misto // Rend. Reale Accad. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (5), 1923. Vol. 14. Pp. 134–247.
2. Trikomi F. O. lineinykh uravneniyakh smeshannogo tipa. M.-L.: Gostekhizdat, 1947. 192 s.
3. Smirnov M.M. Uravneniya smeshannogo tipa. M.: Nauka, 1970. 295 s.
4. Bers L. Matematicheskie voprosy dozvukovoi i okolozvukovoi gazovoi dinamiki. M.: Izd-vo inostrannoi literatury, 1961. 208 s.
5. Frankl' F.I. Izbrannye trudy po gazovoi dinamike. M.: Nauka, 1973, 712 s.
6. Bitsadze A.V. Nekotorye klassy uravnenii v chastnykh proizvodnykh. M.: Nauka, 1981. 448 s.
7. Bitsadze A.V. Nekorrektnost' zadachi Dirikhle dlya uravnenii smeshannogo tipa v smeshannykh oblastyakh // Doklady Akademii nauk. 1958. T. 122. № 2. S. 167–170.
8. Nakhushev A.N. Kriterii edinstvennosti zadachi Dirikhle dlya uravneniya smeshannogo tipa v tsilindricheskoi oblasti // Differentsial'nye uravneniya. 1970. T. 6. № 1. S. 190–191.
9. Khachev M.M. Pervaya kraevaya zadacha dlya lineinykh uravnenii smeshannogo tipa. Nal'chik: El'brus, 1998.
10. Sabitov K.B. Zadacha Dirikhle dlya uravnenii smeshannogo tipa v pryamougol'noi oblasti // Doklady Akademii nauk. 2007. T. 413, № 1. S. 23–26.
11. Soldatov A.P. O zadachakh tipa Dirikhle dlya uravneniya Lavrent'eva — Bitsadze // Trudy MIAN. 2012. T. 278. S. 242–249.
12. Algazin O.D. Polinomial'nye resheniya kraevykh zadach dlya uravneniya Puassona v sloe // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. 2017. № 6. S. 1–18. DOI: 10.24108/mathm.0517.0000082
13. Vladimirov V.S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoi fizike. M.: Nauka, 1979. 318 s.
14. Lebedev N.N. Spetsial'nye funktsii i ikh prilozheniya. M.-L.: Fizmatlit, 1963. 359 s.
15. Abramovits M., Stigan I. Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam. M.: Nauka, 1979. 832 s.
