Оценка методом самосогласования диэлектрической проницаемости анизотропного композита с пластинчатыми включениями

Статья в Elpub

Математика и математическое моделирование. 2015; : 36-48

Оценка методом самосогласования диэлектрической проницаемости анизотропного композита с пластинчатыми включениями

Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н., Пугачёв О. В.

Аннотация

Наряду с широким использованием композитов в качестве конструкционных или теплозащитных материалов они находят применение и как функциональные материалы в большом числе разнообразных электротехнических устройств и приборов, в том числе в качестве диэлектриков. Для композита, применяемого в этом качестве, одной из важнейших характеристик является относительная диэлектрическая проницаемость, зависящая прежде всего от диэлектрических свойств включений и матрицы, а также от формы и объемного содержания включений.В работе построена математическая модель взаимодействия электростатических полей в изотропном пластинчатом включении и в окружающей его однородной анизотропной среде, моделирующей диэлектрические свойства композита с такими включениями. Рассмотрен вариант одинаковой ориентации пластинчатых включений, что приводит к частному случаю анизотропии диэлектрических свойств композита, соответствующему трансверсальной изотропии относительно направления, перпендикулярного включениям. Форма включений представлена сплющенными эллипсоидами вращения (сфероидами). Преобразование дифференциального уравнения, описывающего распределение электрического потенциала трансверсально изотропной среде, окружающей сфероидальное включение, к уравнению Лапласа с последующим переходом от исходного сфероида к приведенному эллипсоиду вращения позволяет для определения диэлектрических свойств композита применить метод самосогласования. Этот метод состоит в приравнивании нулю результата осреднения возмущений электростатического поля во включениях и в частицах матрицы относительно невозмущенного поля в окружающей среде.Построенная математическая модель дает возможность определить возмущение электростатического поля во включениях и в частицах матрицы по отношению к невозмущенному полю, заданному в окружающей среде на расстоянии от включений и частиц матрицы, много больше их характерных размеров. Путем осреднения возмущений электростатического поля во всех элементах структуры композита получена система двух квадратных уравнений относительно искомых главных значений тензора диэлектрической проницаемости рассматриваемого композита. Результаты количественного анализа этой системы представлены в виде графиков и могут быть использованы для прогноза диэлектрических характеристик композитов с одинаково ориентированными пластинчатыми включениями (в том числе в виде наноструктурных элементов).

DOI: 10.7463/mathm.0115.0776021

Список литературы

1. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1983. 928 с

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 8. Элетродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с

3. Политехнический словарь / Гл. ред. А.Ю. Ишлинский. М.: Сов. энциклопедия, 1989. 656 с

4. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Маркевич М.Н. Математическое моделирование диэлектрических свойств полимер-керамических композиционных материалов методом асимптотического осреднения // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 10. С. 97-108. DOI: 10.7463/1013.0623343

5. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Маркевич М.Н. Моделирование диэлектрических характеристик композиционных материалов на основе метода асимптотического осреднения // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 1. С. 49-64 DOI: 10.7463/0113.0531682

6. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 400 с

7. Можен Ж. Механика электромагнитных сред: пер. с англ. М.: Мир, 1991. 560 с

8. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с

9. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды: учеб. пособие. В 4 т. Т. 2. Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2011. 560 с

10. Апресян Л.А., Власов Д.В. О факторах деполяризации анизотропных эллипсоидов в анизотропной среде // Журнал теоретической физики. 2014. Т. 84. № 12. С. 23--28

11. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: пер. с англ. М.: Наука, 1964. 488 с

12. Зарубин В. С., Кувыркин Г.Н. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с эллипсоидальными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. № 3. С. 76--85

13. Зарубин В.С., Савельева И.Ю. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита со сфероидальными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. № 4. С. 116--126

14. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1965. Vol. 13. iss. 4. P. 213--222. DOI: 10.1016/0022-5096(65)90010-4

15. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка эффективной теплопроводности композита с шаровыми включениями методом самосогласования // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 9. C. 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512

Mathematics and Mathematical Modeling. 2015; : 36-48

The estimate of permittivity of anisotropic composites with lamellar inclusions by the self-assessment method

Zarubin V. S., Kuvyrkin G. N., Pugachev O. V.

Abstract

Composites are widely used as structural or thermal protection materials; they are used as well as functional materials in a large number of different electrical devices and as dielectrics. This composite has one of the most important characteristics the relative permittivity. It depends primarily on the dielectric properties of the inclusions and the matrix as well as the shape and volume content of the inclusions.
In this paper, a mathematical model of the interaction of the electrostatic fields in an isotropic plate and in the surrounding homogeneous anisotropic medium is constructed. This model describes the dielectric properties of the composite with such inclusions. A variant of the same orientation of lamellar inclusions is considered, which leads to the special case of anisotropy of the dielectric properties of the composite that has transverse isotropy towards the direction perpendicular to the inclusions. The shape of inclusions is represented as an oblate ellipsoid of revolution (spheroid). Transformation of the differential equation describing the distribution of the electric potential transversely to isotropic medium surrounding the spheroidal inclusion, to the Laplace equation with the subsequent transition from the initial spheroid to the given ellipsoid of rotation allows us to apply the self-assessment method for the determination of the dielectric properties of the composite. This method equates the result of averaging the perturbation of the electrostatic field in the inclusions and the matrix particles towards the unperturbed fields in the environment to zero.
The constructed mathematical model allows us to determine the electrostatic field disturbance in the inclusions and the matrix particles towards the unperturbed field given in the environment at a distance from the inclusions and the matrix particles, much larger than their characteristic dimensions. By averaging the perturbation of the electrostatic field in all the elements of the composite structure, a system of two quadratic equations for the desired principal values of the permittivity tensor of the composite is obtained. Results of this quantitative analysis are shown in graphs and can be used to predict the dielectric characteristics of composites with identically oriented lamellar inclusions (including in the form of nanostructured elements).

DOI: 10.7463/mathm.0115.0776021

References

1. Fizicheskii entsiklopedicheskii slovar' / Gl. red. A.M. Prokhorov. M.: Sov. entsiklopediya, 1983. 928 s

2. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaya fizika: V 10 t. T. 8. Eletrodinamika sploshnykh sred. M.: Nauka, 1992. 664 s

3. Politekhnicheskii slovar' / Gl. red. A.Yu. Ishlinskii. M.: Sov. entsiklopediya, 1989. 656 s

4. Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevich M.N. Matematicheskoe modelirovanie dielektricheskikh svoistv polimer-keramicheskikh kompozitsionnykh materialov metodom asimptoticheskogo osredneniya // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2013. № 10. S. 97-108. DOI: 10.7463/1013.0623343

5. Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevich M.N. Modelirovanie dielektricheskikh kharakteristik kompozitsionnykh materialov na osnove metoda asimptoticheskogo osredneniya // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2013. № 1. S. 49-64 DOI: 10.7463/0113.0531682

6. Shermergor T.D. Teoriya uprugosti mikroneodnorodnykh sred. M.: Nauka, 1977. 400 s

7. Mozhen Zh. Mekhanika elektromagnitnykh sred: per. s angl. M.: Mir, 1991. 560 s

8. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2008. 512 s

9. Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoi sredy: ucheb. posobie. V 4 t. T. 2. Universal'nye zakony mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy. M.: Izd-vo MGTU im. N.E.Baumana, 2011. 560 s

10. Apresyan L.A., Vlasov D.V. O faktorakh depolyarizatsii anizotropnykh ellipsoidov v anizotropnoi srede // Zhurnal teoreticheskoi fiziki. 2014. T. 84. № 12. S. 23--28

11. Karslou G., Eger D. Teploprovodnost' tverdykh tel: per. s angl. M.: Nauka, 1964. 488 s

12. Zarubin V. S., Kuvyrkin G.N. Effektivnye koeffitsienty teploprovodnosti kompozita s ellipsoidal'nymi vklyucheniyami // Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki. 2012. № 3. S. 76--85

13. Zarubin V.S., Savel'eva I.Yu. Effektivnye koeffitsienty teploprovodnosti kompozita so sferoidal'nymi vklyucheniyami // Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki. 2013. № 4. S. 116--126

14. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1965. Vol. 13. iss. 4. P. 213--222. DOI: 10.1016/0022-5096(65)90010-4

15. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Otsenka effektivnoi teploprovodnosti kompozita s sharovymi vklyucheniyami metodom samosoglasovaniya // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2013. № 9. C. 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512