Математика и математическое моделирование. 2018; : 26-44
Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих тел с помощью mortar-метода
https://doi.org/10.24108/mathm.0318.0000112Аннотация
Статья посвящена разработке алгоритма решения контактных задач теории упругости. Решение подобных задач зачастую сопряжено с необходимостью использования несогласованных сеток. Их стыковку можно осуществлять как с помощью итерационных процедур, формирующих так называемые альтернирующие методы Шварца, так и с помощью метода множителей Лагранжа или метода штрафа. Построенный в статье алгоритм использует mortar-метод для согласования конечных элементов на линии контакта. Все эти методы стыковки сеток позволяют обеспечить непрерывность перемещений и напряжений вблизи линии контакта. Однако одним из главных преимуществ mortar-метода является возможность независимого выбора различных типов конечных элементов и функций форм как на обеих границах двух тел на линии контакта, так и при интегрировании вдоль нее. Применение данного метода в совокупности с классической формулировкой метода конечных элементов, основанной на минимизации функционала Лагранжа, приводит к формированию системы линейных алгебраических уравнений с седловой точкой. В статье подробно обсуждается ее численное решение, основанное на использовании модифицированного метода симметричной последовательной верхней релаксации.
Результаты работы построенного алгоритма продемонстрированы на трех тестовых контактных задачах. В них анализируется напряженно-деформированное состояние различно нагруженных контактирующих двумерных пластин. Рассмотренные примеры показывают, что вблизи линии контакта сохраняется непрерывность распределений перемещений и напряжений. Универсальность разработанного алгоритма оставляет возможность провести дальнейший анализ эффективности применения mortar-метода при использовании разных видов конечных элементов и функций форм.
Список литературы
1. Галанин М.П., Крупкин А.В., Кузнецов В.И., Лукин В.В., Новиков В.В., Родин А.С., Станкевич И.В. Моделирование контактного взаимодействия системы термоупругих тел методом Шварца для многомерного случая // Известия высших учебных заведе-ний. Машиностроение. 2016. № 12. С. 9–20.
2. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Разработка алгоритма контактного взаи-модействия на основе альтернирующего метода Шварца // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. Спец. вып. Прикладная математика. С. 134–141.
3. Le Tallec P., Sassi T. Domain decomposition with nonmatching grids: augmented Lagrangian approach // Mathematics of Computation. 1995. Vol. 64. Pp. 1367–1396. DOI: 10.1090/S0025-5718-1995-1308457-5
4. Галанин М.П., Глизнуцина П.В., Лукин В.В., Родин А.С. Варианты реализации метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2015. № 89. 27 с.
5. Babuska I. The finite element method with penalty // Mathematics of Computation. 1973. Vol. 27. Pp. 221–228.
6. Wriggers P. Computational Contact Mechanics. Berlin-Heidelberg: Speinger-Verlag, 2006. 520 p. DOI: 10.1007/978-3-540-32609-0
7. Lamichhane B.P. Higher Order Mortar Finite Elements with Dual Lagrange Multiplier Spaces and Applications. Stuttgart: Universität Stuttgart. 2006. 190 p.
8. Healey M. The Mortar Boundary Element Method. London: Brunel University, 2010. 160 p.
9. Аронов П.С. Численное решение задач теории упругости методом конечных элементов // Политехнический молодежный журнал МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2017. №6. DOI: 10.18698/2541-8009-2017-6-106.
10. Аронов П.С. Численное решение контактной задачи теории упругости с односторонними связями с помощью смешанной схемы метода конечных элементов // Политехнический молодежный журнал. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2017. №10. DOI: 10.18698/2541-8009-2017-10-175.
11. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.
12. Котович А.В., Станкевич И.В. Решение задач теории упругости методом конечных элементов: учеб. пособие. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. 112 с.
13. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. 129 с.
14. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1978. 222 с.
15. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ. М.: Мир, 1986. 318 с. [Zenkevich O., Morgan K. Finite elements and approximation. John Wiley & Sons, 1983. 352 p.]
16. Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Применение МКЭ в смешанной формулировке для прочностных расчетов инженерных сооружений АПК // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. 2009. № 2. С. 123–129.
17. Wohlmuth B.I. A mortar finite element method using dual spaces for the Lagrange multiplier // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2000. Vol. 38, no. 3. Pp. 989–1012. DOI: 10.1137/S0036142999350929
18. Быченков Ю.В., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач. М.: БИНОМ, 2010. 349 с.
19. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ: пер. с англ. М.: Мир, 1981. 408 с. [Temam R. Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis. AMS Chelsea Publishing, 1977. 426 p.]
20. Чижонков Е.В. К сходимости метода искусственной сжимаемости // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 1996. № 2. С. 13–20.
21. Чижонков Е.В. О сходимости модифицированного метода SSOR для алгебраической системы типа Стокса // В сб.: Численный анализ: методы и программы. М.: Изд-во Московского ун-та, 1998. С. 83–91.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2018; : 26-44
Mathematical Modeling Mortar-method of Contact Interaction between Two Elastic Bodies
https://doi.org/10.24108/mathm.0318.0000112Abstract
The article discusses an algorithm development to solve an elastic contact problem. Solving such problems is often associated with necessity to use mismatched grids. Their joining can be carried out both by the iterative procedures that form the so-called Schwarz alternating methods, and by the Lagrange multipliers method or the penalty method. The article proposes the algorithm that uses a mortar-method for matching the finite elements on the contact line. All these methods of joining the grids provide ensuring continuity of displacements and stresses near the contact line. However, one of the main mortar-method advantages is that it is possible to have an independent choice of different types of finite elements and functions of forms both on both boundaries of two bodies on the contact line, and when integrating along it. The application of this method in conjunction with the classical formulation of the finite element method based on the minimization of the Lagrange functional, leads to a system of linear algebraic equations with a saddle point. The article discusses in detail its numerical solution based on the modified method of symmetric successive upper relaxation.
Three test contact problems demonstrate the results of the algorithm constructed. They analyse the stress-strain state of differently loaded contacting two-dimensional plates. The examples considered show that near the contact line a continuity of distribution of displacements and stresses is retained. A versatility of the developed algorithm leaves the possibility to use different types of finite elements and form functions to conduct further analysis of the mortar-method effectiveness.
References
1. Galanin M.P., Krupkin A.V., Kuznetsov V.I., Lukin V.V., Novikov V.V., Rodin A.S., Stankevich I.V. Modelirovanie kontaktnogo vzaimodeistviya sistemy termouprugikh tel metodom Shvartsa dlya mnogomernogo sluchaya // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavede-nii. Mashinostroenie. 2016. № 12. S. 9–20.
2. Stankevich I.V., Yakovlev M.E., Si Tu Khtet. Razrabotka algoritma kontaktnogo vzai-modeistviya na osnove al'terniruyushchego metoda Shvartsa // Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki. 2011. Spets. vyp. Prikladnaya matematika. S. 134–141.
3. Le Tallec P., Sassi T. Domain decomposition with nonmatching grids: augmented Lagrangian approach // Mathematics of Computation. 1995. Vol. 64. Pp. 1367–1396. DOI: 10.1090/S0025-5718-1995-1308457-5
4. Galanin M.P., Gliznutsina P.V., Lukin V.V., Rodin A.S. Varianty realizatsii metoda mnozhitelei Lagranzha dlya resheniya dvumernykh kontaktnykh zadach // Preprinty IPM im. M.V. Keldysha. 2015. № 89. 27 s.
5. Babuska I. The finite element method with penalty // Mathematics of Computation. 1973. Vol. 27. Pp. 221–228.
6. Wriggers P. Computational Contact Mechanics. Berlin-Heidelberg: Speinger-Verlag, 2006. 520 p. DOI: 10.1007/978-3-540-32609-0
7. Lamichhane B.P. Higher Order Mortar Finite Elements with Dual Lagrange Multiplier Spaces and Applications. Stuttgart: Universität Stuttgart. 2006. 190 p.
8. Healey M. The Mortar Boundary Element Method. London: Brunel University, 2010. 160 p.
9. Aronov P.S. Chislennoe reshenie zadach teorii uprugosti metodom konechnykh elementov // Politekhnicheskii molodezhnyi zhurnal MGTU im. N.E. Baumana. 2017. №6. DOI: 10.18698/2541-8009-2017-6-106.
10. Aronov P.S. Chislennoe reshenie kontaktnoi zadachi teorii uprugosti s odnostoronnimi svyazyami s pomoshch'yu smeshannoi skhemy metoda konechnykh elementov // Politekhnicheskii molodezhnyi zhurnal. MGTU im. N.E. Baumana. 2017. №10. DOI: 10.18698/2541-8009-2017-10-175.
11. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2008. 512 s.
12. Kotovich A.V., Stankevich I.V. Reshenie zadach teorii uprugosti metodom konechnykh elementov: ucheb. posobie. Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2012. 112 s.
13. Rozin L.A. Metod konechnykh elementov v primenenii k uprugim sistemam. M.: Stroiizdat, 1977. 129 s.
14. Rozin L.A. Variatsionnye postanovki zadach dlya uprugikh sistem. L.: Izd-vo Leningradskogo un-ta, 1978. 222 s.
15. Zenkevich O., Morgan K. Konechnye elementy i approksimatsiya: per. s angl. M.: Mir, 1986. 318 s. [Zenkevich O., Morgan K. Finite elements and approximation. John Wiley & Sons, 1983. 352 p.]
16. Gureeva N.A., Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P. Primenenie MKE v smeshannoi formulirovke dlya prochnostnykh raschetov inzhenernykh sooruzhenii APK // Izvestiya Nizhnevolzhskogo agrouniversitetskogo kompleksa: nauka i vysshee professional'noe obrazovanie. 2009. № 2. S. 123–129.
17. Wohlmuth B.I. A mortar finite element method using dual spaces for the Lagrange multiplier // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2000. Vol. 38, no. 3. Pp. 989–1012. DOI: 10.1137/S0036142999350929
18. Bychenkov Yu.V., Chizhonkov E.V. Iteratsionnye metody resheniya sedlovykh zadach. M.: BINOM, 2010. 349 s.
19. Temam R. Uravneniya Nav'e — Stoksa. Teoriya i chislennyi analiz: per. s angl. M.: Mir, 1981. 408 s. [Temam R. Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis. AMS Chelsea Publishing, 1977. 426 p.]
20. Chizhonkov E.V. K skhodimosti metoda iskusstvennoi szhimaemosti // Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 1. Matematika. Mekhanika. 1996. № 2. S. 13–20.
21. Chizhonkov E.V. O skhodimosti modifitsirovannogo metoda SSOR dlya algebraicheskoi sistemy tipa Stoksa // V sb.: Chislennyi analiz: metody i programmy. M.: Izd-vo Moskovskogo un-ta, 1998. S. 83–91.
