Математика и математическое моделирование. 2019; : 1-19
Инвариантные компактные множества двумерных ограничений одной модели развития раковой опухоли
https://doi.org/10.24108/mathm.0419.0000108Аннотация
В статье рассматривается трехмерная модель развития рака показывающая взаимодействие иммунных, опухолевых и здоровых клеток. Данная модель была предложена в работе Пилис и Радунской и основывается на более ранней работе Кузнецова и др. Были получены положения равновесия указанной системы, а также сделаны предположения об ограничениях на параметры модели, которые не нарушают содержательного смысла рассматриваемой задачи. Далее в статье рассматривались двумерные ограничения этой модели. Основное внимание было уделено построению локализирующих множеств двумерных ограничений, характеризующихся отсутствием иммунных, здоровых или опухолевых клеток.
При рассмотрении двумерного ограничения модели при отсутствии иммунных клеток были получены положения равновесия и исследован их характер. Данные исследования проводились с учетом введенных ограничений на параметры системы. Было установлено, что при отсутствии иммунных клеток локализирующее множество состоит из одной точки (точки положения равновесия системы), которая является устойчивым узлом и указывает на наличие опухолевого образования.
В двумерном ограничении модели при отсутствии клеток-хозяев (здоровых клеток) было получено компактное локализирующее множество. Это ограничение имеет от двух до 4-х положений равновесия. При любых значений параметров системы положения равновесия содержатся в локализирующем множестве. Были найдены условия на параметры модели, при выполнении которых локализирующее множество оказывается отрезком координатной оси и совпадает с максимальным инвариантным компактом.
При рассмотрении ограничения модели в отсутствии опухолевых клеток, было получено единственное устойчивое положение равновесия, которое соответствует здоровому организму. Все траектории в положительном октанте стремятся в устойчивое положение равновесия.
Список литературы
1. Sherratt J.A., Chaplain M.A.J. A new mathematical model for avascular tumour growth // J. of Mathematical Biology. 2001. Vol. 43. No. 4. Pp. 291-312. DOI: 10.1007/s002850100088
2. Жукова И.В., Колпак Е.П. Математические модели злокачественной опухоли // Вестник Санкт-Петербург. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 3. С. 5-18.
3. De Pillis L.G., Radunskaya A.E. A mathematical tumor model with immune resistance and drug therapy: an optimal control approach // J. of Theoretical Medicine. 2001. Vol. 3. No. 2. Pp. 79-100. DOI: 10.1080/10273660108833067
4. Kusnetsov V.A., Makalkin I.A., Taylor M.A., Perelson A.S. Nonlinear dynamics of immunogenic tumors: Parameter estimation and global bifurcation analysis // Bull. of Mathematical Biology. 1994. Vol. 56. No. 2. Pp. 295-321. DOI: 10.1016/S0092-8240(05)80260-5
5. De Pillis L.G., Fister K.R., Weiqing Gu, Collins C., Daub M., Gross D., Moore J., Preskill B. Mathematical model creation for cancer chemo-immunotherapy // Computation and Mathematical Methods in Medicine. 2009. Vol. 10. No. 3. Pp.165-184. DOI: 10.1080/17486700802216301
6. De Pillis L.G.,Weiqing Gu, Fister K.R., Head T., Maples K., Murugan A., Neal T., Yoshida K. Chemotherapy for tumors: An analysis of the dynamics and a study of quadratic and linear optimal controls // Mathematical Biosciences. 2007. Vol. 209. No.1. Pp. 292-315. DOI: 10.1016/j.mbs.2006.05.003
7. De Pillis L.G., Radunskaya A.E. The dynamics of an optimally controlled tumor model: A case study // Mathematical and Computer Modelling. 2003. Vol. 37. No. 11. Pp. 1221-1244. DOI: 10.1016/S0895-7177(03)00133-X
8. Starkov K.E., Krishchenko A. P. On the global dynamics of one cancer tumour growth model // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2014. Vol. 19. No. 5. Pp. 1486–1495. DOI: 10.1016/j.cnsns.2013.09.023
9. Viger L., Denis F., Rosalie M., Letellier C. A cancer model for the angiogenic switch // J. of Theoretical Biology. 2014. Vol. 360. Pp. 21-33. DOI: 10.1016/j.jtbi.2014.06.020
10. Sardanyes J., Rodrigues C., Januario C., Martins N., Gil-Gomez G., Duarte J. Activation of effector immune cells promotes tumor stochastic extinction: A homotopy analysis approach // Applied Mathematics and Computation. 2015. Vol. 252. Pp. 484-495. DOI: 10.1016/j.amc.2014.12.005
11. Крищенко А.П. Локализация простой и сложной динамики в нелинейных системах // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 11. С. 1440-1447. DOI: 10.1134/S0374064115110047
12. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 12. С. 1597-1604.
13. Крищенко А.П. Исследование асимптотической устойчивости в целом методом локализации инвариантных компактов // Дифференциальные уравнения. 2016. T. 52. № 11. С. 1457-1464. DOI: 10.1134/S0374064116110029
14. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. 231 с.
15. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. 4-е изд. М.: Наука, 1990. 176 с.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2019; : 1-19
Invariant Compact Sets of Two-dimensional Restrictions for a Cancer Tumour Growth Model
https://doi.org/10.24108/mathm.0419.0000108Abstract
A three-dimensional model of cancer growth showing the interaction of immune, tumor and host (healthy) cells is considered. This model was proposed by L.G. de Pillis and A. Radunskaya and is based on the earlier work of Kuznetsov et al. The equilibrium points of this system were obtained, and assumptions were made about restrictions on the model parameters that do not violate the meaningful sense of the problem. The main attention was paid to the construction of localizing sets of two-dimensional restrictions, characterized by the absence of immune, healthy or tumor cells.
When considering the two-dimensional restriction of the model in the absence of immune cells, equilibrium points were obtained and their types were explored. The research was carried out taking into account the introduced restrictions on the system parameters. It was found that in the absence of immune cells, the localizing set consists of one point (the equilibrium point of the system), which is a stable node and indicates the presence of tumor formation.
In the two-dimensional restriction of the model in the absence of host cells (healthy cells), a compact localizing set was obtained. This restriction has from two to four equilibrium points. For any values of the system parameters the equilibrium points are contained in the localizing set. Conditions were found on the model parameters under which the localizing set turns out to be a segment of coordinate axis and coincides with the maximal invariant compact set.
When exploring the model restriction in the absence of tumor cells, the only stable equilibrium point was obtained that corresponds to a healthy organism. All trajectories in the positive octant tend to the stable equilibrium point.
References
1. Sherratt J.A., Chaplain M.A.J. A new mathematical model for avascular tumour growth // J. of Mathematical Biology. 2001. Vol. 43. No. 4. Pp. 291-312. DOI: 10.1007/s002850100088
2. Zhukova I.V., Kolpak E.P. Matematicheskie modeli zlokachestvennoi opukholi // Vestnik Sankt-Peterburg. un-ta. Ser. 10: Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya. 2014. Vyp. 3. S. 5-18.
3. De Pillis L.G., Radunskaya A.E. A mathematical tumor model with immune resistance and drug therapy: an optimal control approach // J. of Theoretical Medicine. 2001. Vol. 3. No. 2. Pp. 79-100. DOI: 10.1080/10273660108833067
4. Kusnetsov V.A., Makalkin I.A., Taylor M.A., Perelson A.S. Nonlinear dynamics of immunogenic tumors: Parameter estimation and global bifurcation analysis // Bull. of Mathematical Biology. 1994. Vol. 56. No. 2. Pp. 295-321. DOI: 10.1016/S0092-8240(05)80260-5
5. De Pillis L.G., Fister K.R., Weiqing Gu, Collins C., Daub M., Gross D., Moore J., Preskill B. Mathematical model creation for cancer chemo-immunotherapy // Computation and Mathematical Methods in Medicine. 2009. Vol. 10. No. 3. Pp.165-184. DOI: 10.1080/17486700802216301
6. De Pillis L.G.,Weiqing Gu, Fister K.R., Head T., Maples K., Murugan A., Neal T., Yoshida K. Chemotherapy for tumors: An analysis of the dynamics and a study of quadratic and linear optimal controls // Mathematical Biosciences. 2007. Vol. 209. No.1. Pp. 292-315. DOI: 10.1016/j.mbs.2006.05.003
7. De Pillis L.G., Radunskaya A.E. The dynamics of an optimally controlled tumor model: A case study // Mathematical and Computer Modelling. 2003. Vol. 37. No. 11. Pp. 1221-1244. DOI: 10.1016/S0895-7177(03)00133-X
8. Starkov K.E., Krishchenko A. P. On the global dynamics of one cancer tumour growth model // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2014. Vol. 19. No. 5. Pp. 1486–1495. DOI: 10.1016/j.cnsns.2013.09.023
9. Viger L., Denis F., Rosalie M., Letellier C. A cancer model for the angiogenic switch // J. of Theoretical Biology. 2014. Vol. 360. Pp. 21-33. DOI: 10.1016/j.jtbi.2014.06.020
10. Sardanyes J., Rodrigues C., Januario C., Martins N., Gil-Gomez G., Duarte J. Activation of effector immune cells promotes tumor stochastic extinction: A homotopy analysis approach // Applied Mathematics and Computation. 2015. Vol. 252. Pp. 484-495. DOI: 10.1016/j.amc.2014.12.005
11. Krishchenko A.P. Lokalizatsiya prostoi i slozhnoi dinamiki v nelineinykh sistemakh // Differentsial'nye uravneniya. 2015. T. 51. № 11. S. 1440-1447. DOI: 10.1134/S0374064115110047
12. Krishchenko A.P. Lokalizatsiya invariantnykh kompaktov dinamicheskikh sistem // Differentsial'nye uravneniya. 2005. T. 41. № 12. S. 1597-1604.
13. Krishchenko A.P. Issledovanie asimptoticheskoi ustoichivosti v tselom metodom lokalizatsii invariantnykh kompaktov // Differentsial'nye uravneniya. 2016. T. 52. № 11. S. 1457-1464. DOI: 10.1134/S0374064116110029
14. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Invariantnye kompakty dinamicheskikh sistem. M.: Izd-vo MGTU im. N. E. Baumana, 2011. 231 s.
15. Chetaev N.G. Ustoichivost' dvizheniya. 4-e izd. M.: Nauka, 1990. 176 s.
